Déterminer les variations d'une fonction - Seconde

by: Yvan Monka

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[3.35]
bonjour dans cette vidéo tu vas pouvoir apprendre à étudier les variations d'une fonction alors je précise que dans cette vidéo on ne passera pas par la dérive et pour étudier les variations ne connaît pas encore la dérive et on va donc devoir se débrouiller autrement quel est notre fonction alors c'est une fonction qui est défini sur - 1/2 plus l'infini ouvert par eve 2 x égal à 1 sur 2 x + 1 et on voudrait prouver que cette fonction est décroissante alors pour cela on va s'appuyer sur une propriété qui nous dit pas mal de choses on va l'avoir déjà dans le cas de la croissance puis ensuite dans le cas de la décroissance cette propriété nous dit d'abord que dire qu'une fonction af est croissante et bien c'est pareil que dire que pour tous a et b d'un intervalle 6 ha est plus petit que b alors f2 à est plus petit que f2b regardons graphiquement ce que cela signifie pour bien comprendre alors on imagine qu'on a une fonction mais on l'a pas encore représentée pour bien comprendre ça va être plus simple au départ la propriété nous dit qu'on choisit un à plus petit que b donc sur l'axé des abscisses jeu mais d'abord à et ensuite b alors f2 à est plus petit que f2b c'est à dire l'image de à arrive en dessous de l'image de baisser ce que je vais faire là je place donc deux points de façon que f2 à est plus petit que f2b on le voit bien la f2 à est plus petit que f2p on arrive donc là avec deux points de notre fonction qui n'est pas encore présente et aubenas tracé tels que le deuxième est plus haut que le premier et bien si je souhaite voir cette fonction voir la courbe qui se cache derrière cette fonction forcément je vais être obligé de monter pour rejoindre le deuxième point bien c'est ce qui se passe ici on obtient donc une courbe qui monte ça se dit pas bien on dit plutôt une fonction qui est croissante eh bien on a effectivement une fonction créée croissante mais attention ceci est vrai donc que la fonction croissante à condition que cette petite histoire a plu que b implique f2 à plus petit que f2b soit vrai pour n'importe quelle valeur a et b de notre intervalles sinon on risque d'avoir des allers retours et bien si pour n'importe quelle valeur prise de a et b sur l'intervalle avec toujours 1 à plus petit que b j'obtiens un f2 à plus petit qu'un chef de baie j'aurai une fonction croissante on peut faire exactement le même raisonnement pour une fonction décroissante on choisit donc au départ toujours à plus petit que b sur l'axé des abscisses mais cette fois ci les images vont s'inverser elles vont se renverser je vais donc obtenir un f2 un plus grand que f2b on obtient donc le premier point le voilà qui se trouve plus haut que le deuxième point et bien si on imagine la coupe qui se cache derrière on voit bien que pour rejoindre ces deux points il faut maintenant descendre on obtient là une fonction décroissante toujours à la condition que si ceux ci soit vrai pour n'importe quelle valeur a b tel que à plus petit que b et bien voilà ce qui explique cette propriété alors nous ce qu'on voudrait faire ici c'est prouvé que notre fonction est décroissante c'est à dire on voudrait utiliser la deuxième des deux propriétés on va donc choisir au départ un à plus petit que b et il faudrait arriver à prouver que f2 à est plus grand que f2b alors dans la pratique qu'est ce qu'on fait et bien pour prouver que f2 à est plus grand que f2b eh bien on va tout simplement prouvé que f2 à - fb est plus grand que zéro ce qui reviendra à dire que f de rails plus grands clubs de b2 cette façon là on va être amené à calculer f2 à - f2b et chercher son signe vérifier qu'effectivement sont signés positif c'est ce qu'on va faire là c'est parti voilà alors notre intervalle i nous c'est moins un demi plus l'infini c'est bien ça que nous impose notre énoncés on prend donc de réelles 1 et b de cet intervalle et on suppose que a est plus petit que b prouvons donc que f2 à est plus grand que f2b de cette façon là on pourra appliquer la propriété qui nous dira que la fonction est décroissante on a dit que pour faire ceci on va calculer f2 à - fb et on va prouver que f2 à - f2b et bien est positif alors allons-y et bien f 2 x est égal à 1 sur 2 x + 1 je remplace donc x par à puisque là je veux f21 soit un sur deux a plus un - fb je fais pareil remplaçant x par b soit 1 sur 2 b + 1 voilà alors là ça cf 2 à moins f2b ça paraît être une expression compliqué c'est vrai que l'année un petit peu quand on a ici une expression avec deux fractions bas si on veut étudier son signe il faudrait mettre déjà tout ceci au même dénominateur alors mettons tout ceci au même dénominateur c'est à dire que ici je vais multiplier par 2 b + 1 en haut et en bas et là je vais multipliée par deux a plus un haut et en bas alors ça nous donne ça va faire une longue expression donc 2 b + 1 sur 2 b plus un facteur de 2 à +1 donc là j'ai multiplié par 2 b + 1 et là j'ai multiplié par 2 b puis st on les voit ici je n'écris plus le x 1 qui est derrière - je vais faire pareil ici en multipliant en haut et en bas par deux à plus 1 alors ça me fait donc en haut de a + 1 le tout sur et bien deux a plus un facteur de 2 b + 1 voilà de cette façon eh bien j'ai 2v + un facteur de 2 à +12 b plus un facteur de 2 à +1 c'est juste écrit dans l'autre sens en tout cas on a le même dénominateur ce qui veut dire que peu qu'on peut donc tout mettre sur ce même dénominateur ce qui nous donne deux a plus un facteur de 2 b + 1 et au numérateur j'ai donc dû b + 1 - 2 à +1 voilà reste maintenant à simplifier ici le numérateur alors pour cela et bien on va déjà se débarrasser ici de ces parenthèses qui nous embête alors ce couple de parenthèse sert à rien je peux l'enlever ce couple de parenthèses par contre est très utile puisque la g1 - en facteurs ce qui veut dire qu'en distribuant le moins ici ça va me donner -2 à et là ça va me donner - je change tous les signes de cette manière j'ai ici plus sains et moins un qui s'en vont il me reste donc au numérateur 2b -2 à le tout sur deux a plus un facteur 2 2b plus un bon alors ici on voit qu'on pourrait encore factoriser par deux le numérateur ça permettra d'avoir une expression un peu plus simple à étudier tout à l'heure ce qui va me donner deux facteurs de b - ans alors bon bah là on arrive maintenant avec une expression qui est parfaitement factoriser on va pouvoir étudier le signe de cette expression puisque je rappelle qu'il faudrait prouver que ceci est positif donc ça reviendrait à prouver que ceci est positif bon et bien on n'a que des facteurs on va étudier le signe de chaque facteur et après appliquer la règle destinée alors déjà 2 est positif ça c'est réglé b - à quel est le signe de b - a bien on sait ici que a est plus petit que b1 est plus petit que b eh bien on peut directement en déduire que b - à est positif forcément on a donc déjà le signe du numérateur le numérateur et positif reste le dénominateur 2 à +5 2 b plus intense apparaît un peu plus compliqué mais ça l'est pas tant que ça en fait ça va être la même manière pour les deux on va déjà s'occuper de 2 à +1 pour de bplus a on le fera pas 2 à +1 et bien on voit ici qu'on travaille dans - 1/2 plus l'infini c'est à dire que on travaille pour des valeurs de la plus grande que - 1/2 alors qu'en est-il de 2 à +1 pour des valeurs plus grande que - 1/2 bien on voit déjà que remplaçant ici à part - 1/2 ça va faire deux fois moins un demi - 1 + 1 0 donc c'est juste la valeur limite ce qui veut dire que ensuite on peut être assuré que cette expression sera à peu près tout le temps du même signe et ce signe sera positif évidemment eh bien on va simplement prouver que deux à +1 est effectivement positif pourquoi deux à plus sain et positif eh bien on va le voir à la manière du l'inéquation tout simplement parce que deux à est plus grand que -1 je balance le plus sain puis je divise par deux à plus grand qu'eux - 1/2 et bien à plus grande que - 1/2 signifie bien que deux à plus sain et positif à plus grand qu'eux - 1/2 ça c'est vrai parce qu'on a choisi des valeurs 2a et 2b dans cet intervalle intervalle imposé de toute manière au départ donc on a deux à +5 est positif on va pas le faire pour le deuxième je les dis on écrit simplement d'eux mêmes 2b plus sains et positifs et bien voilà on a finalement que des facteurs qui sont positifs on peut donc en déduire que f2 à - f2b est lui-même strictement positif et donc finalement eh bien si eve 2 à moins f2b est positif on peut conclure que f2 à est plus grand que f2b et bien là on peut mettre en marche notre propriété qui nous dit quoi on le rappelle si jamais on prend 1 à plus petit que b dans mon intervalle n'y ait que j'arrive à prouver que f2 à est plus grand que fb c'est à dire que l'inégalité se renverse et bien dans ce cas là ma fonction f et décroissante sur cet intervalle on peut conclure f et décroissante / - 1/2 plus l'infini voilà qui est noté alors ici on a fait une étude sur - 1/2 plus l'affiner mais on pourrait faire la même étude sur moi l'infini moins un demi mois 1/2 exclus et bien qu'est-ce qui se passerait on aurait deux valeurs a et b toujours à plus petit que b mais on travaillerait donc pour des valeurs plus petites que - 1/2 qu'est-ce qui se passerait eh bien là ici on aurait donc un facteur négatif là on aurait également un facteur négatif c'est à dire on ne retrouverais ici les aînés gais les inégalités tourner dans l'autre sens et ici également du coup on aurait dû - par - qui nous renverrait plus ce qui fait qu'on aurait toujours f2 à - f2b positif et donc f21 plus grand que fb ce qui prouverait également que notre fonction f et décroissante sur l'intervalle moins l'infini - 1/2 en fait cette fonction est toujours décroissante pour finir on va la trace et on voit bien que c'est une fonction de type hyperbole avec un trou en moins un demi qui est donc bien décroissante comme on l'a prouvé dans cette vidéo 2 / - 1/2 plus l'infini mais également décroissante avant sur moi l'infini moins admis et cette séquence est



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